קיץ 2024 מועד א – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2024 מועד א – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

4 + 13 + … + 5n² + 3n2

= n(n + 1)(5n + 7)6

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

4 + 13 + … + 5n² + 3n2
= n(n + 1)(5n + 7)6

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל:

5 + 32 = 4

אגף ימין:

1 · 2 · 126 = 246 = 4 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

4 + 13 + … + 5n² + 3n2
= n(n + 1)(5n + 7)6

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

4 + 13 + … + 5k² + 3k2

= k(k + 1)(5k + 7)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 (נוציא גורם משותף (k + 1)):

5(k + 1)² + 3(k + 1)2

= (k + 1)(5k + 8)2

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

4 + 13 + … + 5n² + 3n2
= n(n + 1)(5n + 7)6

= (k + 1)(5k + 8)2

ובאגף ימין 5(k + 1) + 7 = 5k + 12. צריך להוכיח:

4 + … + (k + 1)(5k + 8)2

= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k(k + 1)(5k + 7)6 + (k + 1)(5k + 8)2

נוציא גורם משותף k + 16:

📐 הוצאת גורם משותף

= k + 16 · [k(5k + 7) + 3(5k + 8)]

📐 הנחת האינדוקציה

4 + … + 5k² + 3k2
= k(k + 1)(5k + 7)6

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

4 + 13 + … + 5n² + 3n2
= n(n + 1)(5n + 7)6

= k + 16 · [k(5k + 7) + 3(5k + 8)]

= k + 16 · (5k² + 22k + 24)

נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:

📐 פתיחת סוגריים

= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 פתיחת סוגריים

(k + 2)(5k + 12)
= 5k² + 12k + 10k + 24
= 5k² + 22k + 24

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא